Computing rational points in convex semi-algebraic sets and SOS decompositions

Let P = {h1, . . . , hs} ⊂ Z[Y1, . . . , Yk], D ≥ deg(hi) for 1 ≤ i ≤ s, σ bounding the bit length of the coefficients of the hi’s, and Φ be a quantifier-free P-formula defining a convex semi-algebraic set. We design an algorithm returning a rational point in S if and only if S ∩ Q 6= ∅. It requires σD ) bit operations. If a rational point is outputted its coordinates have bit length dominated by σD 3). Using this result, we obtain a procedure deciding if a polynomial f ∈ Z[X1, . . . , Xn] is a sum of squares of polynomials in Q[X1, . . . , Xn]. Denote by d the degree of f , τ the maximum bit length of the coefficients in f , D = ( n+d n ) and k ≤ D(D + 1) − ( n+2d n ) . This procedure requires τD ) bit operations and the coefficients of the outputted polynomials have bit length dominated by τD 3). Key-words: rational sum of squares, semidefinite programming, convex semialgebraic sets, complexity. ∗ UPMC, Paris 6, LIP6 † KLMM, Academy of Mathematics and System Sciences, China in ria -0 04 19 98 3, v er si on 1 15 O ct 2 00 9 Calcul de points rationnels dans des semi-algébriques convexes et décomposition en sommes de carrés Résumé : Soit P = {h1, . . . , hs} ⊂ Z[Y1, . . . , Yk], D ≥ deg(hi) pour 1 ≤ i ≤ s, σ une borne sur la longueur binaire des coefficients des hi, et Φ une Pformule sans quantificateurs définissant un ensemble semi-algébrique convexe. Nous décrivons un algorithme qui retourne un point à coordonnées rationnelles dans S si et seulement si S ∩ Q 6= ∅. Cet algorithme est de complexité binaire σD 3). Si un point rationnel est renvoyé, ses coordonnées sont de longueur binaires dominées par σD 3). On déduit de ce résultat une procédure qui décide si un polynôme f ∈ Z[X1, . . . , Xn] est une somme de carrés de polynômes dans Q[X1, . . . , Xn]. Soit d le degré de f , τ le maximum des longueurs binaires des coefficients de f , D = ( n+d n ) et k ≤ D(D+1)− ( n+2d n ) . Cette procédure est de complexité binaire τD ) et les coefficients des polynômes obtenus en sortie ont une longueur binaire dominée par τD 3). Mots-clés : sommes de carrés à coefficients rationnels, programmation semidéfinie positive, ensembles semi-algebraiques convexes, complexité. in ria -0 04 19 98 3, v er si on 1 15 O ct 2 00 9 Rational points in convex semi-algebraic sets 3